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大殿震荡山腰处无数积雪滚落下来顷刻间形成了一场型雪崩较个真：10怎么读真的读作十吗2023-11-22 20:52·中科院物理所在直面标题中的问题之前先思考一个问题什么是记数很简单就是用某种符号把数量记下来嘛它所涉及的一套规则叫记数系统（numeral system）也称为记数法比如用A代表第一个数往后每增加一个就依次用BC······Z代表若继续增加那就用AAABAC······ZZAAA等等来代表了用过Excel表的人都知道它的列编号所采用的就是这种记数法再比如计算机中采用的二进制（binary）用0代表无用1代表第一个数往后每增加一个就依次用1011100101110等代表而最通行的所谓十进制英文名decimalism 它的做法是：用0代表无用1代表第一个数往后每增加一个依次用23······9代表接下来若继续增加那就依次是101112······这些被称作N进制的记数法还有很多例如三进制（ternary）八进制（octal）十六进制（hexadecimal）等实际上任何非零整数进制都存在当然包括一进制它叫unary numeral system先声明下进制这个说法是中文特有的强调记数中逢N进1的规则但实际上这并不是记数法本身的要求关于这一点本文后面会讲到现在我们先来看这些记数法背后有什么共同的道理呢为了搞清楚这个问题我们不妨从人类最简单的记数法讲起想象你穿越到10万年前假设那时的你幸运的还是一个人你现在负责记录你们部落猎物的数量你该怎么做呢原始人用棍棒记数没错用棍棒来记数一根棍棒代表一个猎物每增加一个猎物就增加一根棍棒但这样工作量太大如果打的猎物太多棍棒不够用了怎么办奈何姓万的故事聪明的你马上想到：能不能用有限的棍棒来表示任意数呢没错你这灵光一闪就代表人类开始思考抽象的记数问题了棍棒或各种兽骨等物件有各种不同的形状若将它们看作一个个不同符号那么有限个不同形状的物件就构成了一个有限符号集从这里面取出任意个符号（可重复）它们的每个排列就代表一个数原始人的记数工具可是问题来了这些符号的排列表示数的规则是什么呢这就是记数的核心问题了 为了更清晰地阐述我们先明确三个概念第一个概念用来记数的符号——数字（digit）也叫数位符不仅包括阿拉伯数字各种字母也可用作数字常见的如英文大写字母要注意区分数字与数数（number）由数字排列而成例如101和AA都是数单个数字本身也是一个数第二个概念数位符构成的集合我们称之为数位集（digit set）例如前面提到的第一种记数它的数位集是26个大写英文字母的集合二进制的数位集是0,1,2十进制的数位集是0,1,2,3,···,9第三个概念数字符号与整数值之间的对应关系叫整数数值函数用 表示它的定义域是数位集而它的值域是整数需要指出的是这里的整数二字是形式上的、与具体的记数法无关的整数就像本文前面提到的三种记数时说的那样它是指按从第一个数开始每增加一个就加一的规则来计数（counting）时所得到的那个抽象的整数讲到这里也要顺便说下计数与记数是不同的计数是一种重复增一或减一的行为它对应的结果是存在于大脑中天然抽象数值；而记数则是数的某种记录方式是表示数的符号系统给出的结果当然在实际中这个所谓的抽象整数一般总是用我们熟悉的十进制来兑现表示的毕竟抽象的数只存在于大脑中无法直接表示出来嘛对于前面提到的Excel表的列记数中函数 是全部英文大写字母与等量个整数之间的一一映射例如 而对一般的N进制记数法来说若数字的值就是它作为一个数（number）时的值则 是一个恒等函数（identity function）因此可用字符 直接替代 例如二进制八进制十进制都是如此但N超过10的N进制其数位集包含一些其他字符例如十六进制的数位集为0,1,2,3,···,9,A,B,C,D,E,F故十六进制的数值函数为三个概念讲完了现在来看用数位符怎么表示数若干个数位符（可重复）的一个排列就表示一个数我们称之为记数（numeration）一个排列中有几个数位符则这个数就是几位数一个简单的例子十进制下的数字串2045代表的数值（value）为若这个数字串是八进制的话那它的值为 算出来就是1061显然这里的值是用十进制表示的既然数值应该是与任何记数法无关的抽象计数结果这并不是必须的但十进制是所有人最熟悉的记数表示所以就用十进制了后面凡说到数值也都默认用十进制表示根据这两个例子相信读者能看出某种b进制记数法下的一个字符排列 代表一个整数其值为 如果引入小数点到字符排列中则上述记数法可推广到小数例如b进制下 代表的数值为 例如8进制下的0.124的值为 这种数的表示具有递归（recursion）的特点以整数为例即据此递归性质当一个数的首位是0时由于 这表明 因此数最左边的0是多余的考虑到这一点有些人习惯在记录整数位只是单个零的小数时可忽略那个零例如将0.123直接写作.123上式还透露一个有趣的事实是对0这个数按上述规则它自身也可以被拿掉这就导致 右边是空的没错这正是0的意义——它代表什么也没有好了以上就是最常见的记数法的规则我们看到N进制数位集中并不包含数N对应的字符例如二进制中没有2三进制中没有3八进制中没有8所以若把二进制说成2进制把八进制说成8进制就不够严谨了其实英语对此也是不失严谨的各个N进制的名称中都避免出现对应的数字例如二进制叫binary八进制叫octal等等N进制中对应的N的那个数因为已经超出数位集本身的范围需要用1和0的排列来表示二进制中的10代表数位符1和0的一个排列它读作one zero或一零八进制中也如此而十进制中的10也一样是如此也就是说10一定不是十的对应的数位符——数位符必须是单个字符嘛它的真实身份是字符集中的1和0的一个排列应读作一零而非十你可能会说：10在其他进制中的确不是十但在十进制中不正好就是十吗既然如此那读作十不正好吗对大多数人来说这么做的确无可厚非但是你知道十既然是一个汉语的单音节语素它应该对应单个字符将其对应一个数字的排列10是不太妥当的你可能会问：按你这说的十进制下的20读作二十不可以应读作二零那倒不是这样在十进制下20的数值的确就是二十而且因为它有两个音节不会被误以为是一个数位符所以这么读是完全没问题的其实十进制下的10你若读作一十那比读作十更合适这么说吧面对一个由数位符排列形成的数你可以有两种读法第一种是当字符复读机直接念数位符例如1020就读一零二零管它是什么进制的数反正总不会错虽然这么做有点机器般的冷酷感觉但这也许是大多数搞计算机的人最惬意的读法第二种是按照具体的进制准确地读出它作为一个抽象天然数所具有的真实值例如十进制下10读作十八进制下的10读作八第二种方法虽然美丽但当你面对一个非十进制的数时习惯十进制的你需要快速的读出它的值可不那么容易哦即使是熟悉的十进制面对一长串数字坦白讲笔者有时也会读错更别说听写英语数了要是一个个念字符就好了这个你可能用得着实际上第二种方法不再是单纯记数了而是计数——给出天然抽象数的真实值在前面提到的记数系统中的整数数值函数就是干这件事但好在它只需要干很少次——数位集的长度对应的次数显然对一个懒惰的码农来说他当然会毫不犹豫地选择第一种方案我很懒但我的代码可靠当然若你觉得没必要纠结这些细节也没关系因为在你坚持把10读作十时应该不会有人和你抬杠的至此关于N进制记数法我们讲完了但大家有没有意识到我们熟知的逢N进1的规则似乎被忽略了的确但本就该如此因为逢N进1这件事是当你计数（不是记数）时为了得到正确的记数你需要做的事它与记数规则本身没什么关系前面说过所谓计数简单的说就是在数数时不断加一减一对N进制的数来说当对末位数字是N-1的数加1时末位要变成0而倒数第二位则要增1这就是末位的进位；若倒数第二位增1之前也是N-1则同样也要进位直到抵达某个小于N-1的数字进位停止虽然常见的记数法都满足这个规律但若看Excel表中列的记数法因为它的数位集中不含0所以它并不是按这种逢N进1的规则来记数的例如Z后面是AA而非A0这是怎么回事呢这个问题涉及另一种类型的记数法叫做双射（bijective）记数法而我们常见的十进制属于标准（standard）记数法除此之外还有一种叫平衡（balanced）记数法在弄懂这些不同类型的记数法之后你一定会对记数问题有更深入的理解例如你会理解一进制为什么是可以存在的并能理解各种奇异的记数法存在的合理性包括负二进制Π进制2i进制等等同时你还会发现逢N进1并不是记数法本身要求的虽然所有记数法的英文名称中并无进位之义但在中文里所有记数法的名称都具有x进制的形式个中缘由笔者没有细究好了关于记数法就先讲到这里吧参考文献http://www.britannica.com/science/numeralhttp://en.wikipedia.org/wiki/Numeral_systemhttp://en.wikipedia.org/wiki/Bijective_numerationhttp://www.geeksforgeeks.org/number-system-in-maths/END转载内容仅代表作者观点不代表中科院物理所立场如需转载请联系原公众号来源：物含妙理编辑：花卷